Práctica 6: Análisis y selección de portafolios
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Obtención del portafolio eficiente o de mínima varianza
                                                       

Una vez obtenida la frontera eficiente, tal como se realizó en
`Optimización de
portafolios <file:///C:/Users/Natalia/Documents/PAGINA%20CURSO/build/html/Teor%C3%ADa%20de%20Portafolios/Optimizaci%C3%B3n/Optimizaci%C3%B3n%20de%20portafolios.html>`__,
es posible determinar cuales son los pesos óptimos, a partir del
portafolio de mínima varianza (punto más a la izquierda de la frontera
eficiente). Para ello, se cra un objeto de clase ``fPortfolio`` llamado
``Portafolio_Efi``, que contendrá la salida de la función
``efficientPortfolio()``, a la cual se le ingresa los siguientes
argumentos: \* El objeto al que se le aplicará el modelo para determinar
el portafolio eficiente, que en este caso serían los rendimientos como
una serie de tiempo. por ello, se hace uso de la función
``as.timeSeries()`` sobre ``Rdtos[-1,]``. \* El argumento con el que se
configura la optimización ``spec =`` que va a ser igual a las
escificaciones que se ajustaron antes de crear la frontera eficiente y
que se llamó ``espcartera``. \* la restricción de no negatividad que
también se determinó antes de configurar la frontera como la variable
``constraints``, donde se indicaba se permiten posciones en largo,pero
no ventas en corto ``"LongOnly"``.

Estqa función permite visualizar los argumentos del modelo ``Title:``
los pesos ``Portfolio Weights:``, el riesgo estimado
``Covariance Risk Budgets:`` y los retornos esperados
``Target Returns and Risks:``.

Para obtener únicamente los pesos del portafolio eficiente,se utiliza la
función ``getWeights()`` sobre el objeto ``Portafolio_Efi``, y así se
obterndrá el vector de los pesos para el portafolio de mínima varianza.
En este caso se debe invertir un 31.43% en BABA, un 0% en APPL un 66.69%
en WMT un 0% en WBA, un 1.88% en TSLA y 0% en PEP.

.. code:: r

    Portafolio_Efi= efficientPortfolio(as.timeSeries(Rdtos[-1,]),spec = espcartera,constraints)
    Portafolio_Efi
    W_efi=getWeights(Portafolio_Efi)
    W_efi



.. parsed-literal::

    
    Title:
     MV Efficient Portfolio 
     Estimator:         covEstimator 
     Solver:            solveRquadprog 
     Optimize:          minRisk 
     Constraints:       
    
    Portfolio Weights:
      BABA   AAPL    WMT    WBA   TSLA    PEP 
    0.3143 0.0000 0.6669 0.0000 0.0188 0.0000 
    
    Covariance Risk Budgets:
      BABA   AAPL    WMT    WBA   TSLA    PEP 
    0.3143 0.0000 0.6669 0.0000 0.0188 0.0000 
    
    Target Returns and Risks:
      mean    Cov   CVaR    VaR 
    0.0006 0.0148 0.0343 0.0174 
    
    Description:
     Wed Apr 01 19:18:37 2020 by user: Natalia 



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>BABA</dt><dd>0.314314558226735</dd><dt>AAPL</dt><dd>0</dd><dt>WMT</dt><dd>0.666878313798239</dd><dt>WBA</dt><dd>0</dd><dt>TSLA</dt><dd>0.0188071279750264</dd><dt>PEP</dt><dd>0</dd></dl>
    


Portafolio tangente a la Línea del Mercado de Capitales
                                                       

Este portafolio tangente (punto rojo en la forntera eficiente) se
determina de forma similar al anterior, por medio de la función
``tangencyPortfolio()`` y los mismos argumentos mencionados.

Para conocer los pesos del portafolio tangente, se aplica la misma
función ``getWeights()``, pero esta vez, sobre el objeto
``Portafolio_tang``, y se obtendrá el vector de pesos.

.. code:: r

    Portafolio_tang = tangencyPortfolio(as.timeSeries(Rdtos[-1,]),spec = espcartera,constraints)
    Portafolio_tang
    W_tang=getWeights(Portafolio_tang)
    W_tang



.. parsed-literal::

    
    Title:
     MV Tangency Portfolio 
     Estimator:         covEstimator 
     Solver:            solveRquadprog 
     Optimize:          minRisk 
     Constraints:       
    
    Portfolio Weights:
      BABA   AAPL    WMT    WBA   TSLA    PEP 
    0.0000 0.7407 0.1135 0.0000 0.1458 0.0000 
    
    Covariance Risk Budgets:
      BABA   AAPL    WMT    WBA   TSLA    PEP 
    0.0000 0.7599 0.0486 0.0000 0.1915 0.0000 
    
    Target Returns and Risks:
      mean    Cov   CVaR    VaR 
    0.0014 0.0221 0.0587 0.0334 
    
    Description:
     Wed Apr 01 19:18:37 2020 by user: Natalia 



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>BABA</dt><dd>0</dd><dt>AAPL</dt><dd>0.740694129080433</dd><dt>WMT</dt><dd>0.113543867783967</dd><dt>WBA</dt><dd>0</dd><dt>TSLA</dt><dd>0.145762003135599</dd><dt>PEP</dt><dd>0</dd></dl>
    


Ratio de Sharpe para portafolios
                                

El Ratio de Sharpe que permite medir el premio por el riego asumido al
invertir en un instrumento no seguro. Por tanto el portafolio con mayor
ratio será preferido por el inversionista.

El ratio de Sharpe se determina por medio de la fórmula:

.. math:: Sharpe= \frac{(R_p-R_f)}{\sigma}

Para ello se requiere extraer el rendimiento de cada uno de los
portafolios (eficiente y tangente), por merdio de la función
``getTargetReturn()`` y los riesgos (:math:`\sigma`), con la función
``getTargetRisk()``, de esta forma, se obtiene vectores que contienen la
media de los rendimientos **mu** y el vector de riesgos de donde se
extrae **sigma** que se encuentra en la posición 2 del vector
``Riskport_efi[2]``. Ya con estos datos, se procede a calcular la
fórmula anterior.

.. code:: r

    #Ratio Sharpe portafolio eficiente:
    Rport_efi=getTargetReturn(Portafolio_Efi)
    Rport_efi
    Riskport_efi= getTargetRisk(Portafolio_Efi)
    Riskport_efi
    sigma_efi=Riskport_efi[2]
    sigma_efi
    Sharpe_efi=(Rport_efi[2]-rf)/sigma_efi
    Sharpe_efi
    



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>mean</dt><dd>0.00059411834022739</dd><dt>mu</dt><dd>0.00059411834022739</dd></dl>
    



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>Cov</dt><dd>0.014768226056284</dd><dt>Sigma</dt><dd>0.014768226056284</dd><dt>CVaR</dt><dd>0.0342943590049817</dd><dt>VaR</dt><dd>0.0174098349373304</dd></dl>
    



.. raw:: html

    <strong>Sigma:</strong> 0.014768226056284



.. raw:: html

    <strong>mu:</strong> 0.0382658240789136


De forma similar se realiza el realiza el Ratio de Sharpe para el
portafolio tangente:

.. code:: r

    Rport_tang=getTargetReturn(Portafolio_tang)
    Rport_tang
    Riskport_tang= getTargetRisk(Portafolio_tang)
    Riskport_tang
    sigma_tang=Riskport_tang[2]
    sigma_tang
    Sharpe_tang=(Rport_tang[2]-rf)/sigma_tang
    Sharpe_tang



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>mean</dt><dd>0.00142297402065197</dd><dt>mu</dt><dd>0.00142297402065197</dd></dl>
    



.. raw:: html

    <style>
    .dl-inline {width: auto; margin:0; padding: 0}
    .dl-inline>dt, .dl-inline>dd {float: none; width: auto; display: inline-block}
    .dl-inline>dt::after {content: ":\0020"; padding-right: .5ex}
    .dl-inline>dt:not(:first-of-type) {padding-left: .5ex}
    </style><dl class=dl-inline><dt>Cov</dt><dd>0.0220625645106896</dd><dt>Sigma</dt><dd>0.0220625645106896</dd><dt>CVaR</dt><dd>0.0587050975805006</dd><dt>VaR</dt><dd>0.0334424983815035</dd></dl>
    



.. raw:: html

    <strong>Sigma:</strong> 0.0220625645106896



.. raw:: html

    <strong>mu:</strong> 0.0631827736968916


Gráficos de Torta para visualizar los pesos de los portafolios
                                                              

Una forma sencilla de visulaizar los pesos en los que se va a repartir
el recurso, es realizando un gráfico cilcular o comunmente llamado
gráfico de torta. la función que se utiliza es ``weightsPie()``, sobre
el objeto ``Portafolio_Efi`` y con argumentos de configuración del
gráfico como color ``col=`` y tamaño de la torta ``radius=``. con la
función ``mtext()``, se configura el título del gráfico, que se encentra
arriba a la izquierda.

.. code:: r

    #torta portafolio eficiente
    win.graph(15,13)
    weightsPie(Portafolio_Efi, col= col, radius = 0.5)
    mtext(text = "portafolio eficiente", side = 3, line = 1.5, font = 1, cex = 0.7, adj = 0)



.. image:: output_9_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px


De forma similar se contruye el gráfico circular para el portafolio
tangente.

.. code:: r

    #torta portafolio tangente
    win.graph(15,13)
    weightsPie(Portafolio_tang, col= col, radius = 0.5)
    mtext(text = "portafolio tangente", side = 3, line = 1.5, font = 1, cex = 0.7, adj = 0)



.. image:: output_11_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Beta del portafolio
'''''''''''''''''''

Obtención de los rendimientos del portafolio elegido
''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Por lo genral, el portafolio tangente es el portafolio que se elige como
mejor premio para el inversionista. A este, se le debe realizar un
análisis de sensibilidad para determinar, cuál es la cantidad de riesgo
sistemático, este riesgo se determina por medio del cálculo del
**Beta**, que se consigue contrastando mediante una regresión lineal
simple, todos los rendiemientos diarios del portafolio tangente contra
los rendimientos diarios del mercado. Esta regresión tiene el
comportamiento de una línea recta por lo que la ecuación que la
determinaes es la siguiente:

.. math:: y= a+bx

:math:`b` que acompaña la :math:`x` es la pendiente, a su vez, puede ser
tratada como el riesgo sistemático del portafolio contra el mercado. De
esta forma, si :math:`\beta < 1` se considera que el portafolio es menos
sensible a los cambios en el mercado, por el contrario, si
:math:`\beta > 1`, el portafolio tendrá mayor sensibilidad al mercado.
el signo del coeficiente determinará la relación que existe entre el
mercado y el portafolio, para :math:`\beta_1` positivo se espera una
relación directamente proporcional, y para :math:`\beta_1` negativo, una
relación inversamente proporcional.

Lo primero que se realiza es obetener los rendimientos diarios del
portafolio tangente, para ello, se utiliza un ciclo ``for`` que recorra
todas las filas ``[i]`` de la matríz de rendimientos ``nrow(Rdtos)`` y
realice la suma producto con el vector de los pesos del portafolio
tangente ``W_tang`` (objeto creado anteriormente)

.. code:: r

    #rendimientos del portafolio
    rdto_port_tang= vector()
    for(i in 1:nrow(Rdtos)){
      rdto_port_tang[i]= sum(Rdtos[i,]%*%W_tang)
    }
    head(rdto_port_tang,20)



.. raw:: html

    <style>
    .list-inline {list-style: none; margin:0; padding: 0}
    .list-inline>li {display: inline-block}
    .list-inline>li:not(:last-child)::after {content: "\00b7"; padding: 0 .5ex}
    </style>
    <ol class=list-inline><li>-0.00366527191926463</li><li>0.00126793777500628</li><li>0.00199084987075304</li><li>0.00363105533713878</li><li>0.000667874740728296</li><li>-0.0103097984945859</li><li>0.0101384580243651</li><li>0.00687891201111615</li><li>-0.000513275999864655</li><li>0.00965641448330918</li><li>-0.00394629951575977</li><li>-0.00538383463217754</li><li>-0.0011157625438134</li><li>-0.00535828297468948</li><li>-0.00452481419886013</li><li>-0.00937858103130249</li><li>0.00584692105102535</li><li>0.029692852222876</li><li>0.00431077449850838</li><li>0.0068800137317509</li></ol>
    


Para conocer el comportamiento del mercado, se deben obtener los datos
de cotización del índice S&P 500. es importante aclarar que la elección
del índice dependerá de las acciones con las que se encuentre
trabajando, si se tienen acciones de USA, pueden utilizar SP500,
DOW-JONES, NYSE o NASDAQ (si pertenecen a estas bolsas). Si son acciones
colombianas, se deberá realizar con el COLCAP, o por ejemplo Alemania,
con el índice DAX.

En este caso se obtienen los datos del SP500 y se crea el DF con los
redimientos ``Rdto_mdo``, tal como se explica en `Obtención y Análisis
de Rendimientos
R <../Conceptos%20Básicos%20de%20Estadística/Practica%20Rstudio/Obtención%20y%20Análisis%20de%20Rendimientos%20R.rst>`__

.. code:: r

    #Rdtos del mercado
    getSymbols.yahoo(c('^GSPC'),env=globalenv(), from = "2019-02-12",to = Sys.Date())
    
    SP500= GSPC$GSPC.Adjusted
    Rdto_mdo=diff(log(SP500))
    Rdto_mdo= Rdto_mdo[-1]



.. raw:: html

    '^GSPC'


Una vez obtenidos los rendimientos del mercado y del portafolio, se
porcede al ajuste de un modelo de regresión lineal, con la función
``lm(x~y)``, donde :math:`x` representa la variable independiente,
siendo los movimientos del mercado y :math:`y` la dependiente que
corresponde a los rendimientos del portafolio.

Con la función ``summary()`` se obitienen los coeficientes de la
regresión :math:`\beta_0` y :math:`\beta_1`, que corresponde al
intercepto y la pendiente respectivamente. Para este caso se observan en
la columna ``Estimate``. Dado que el coficiente que interesa es el que
acompaña a ``rdto_port_tang`` 0.7330308, se extrae el coeficiente con
``Beta=regresion$coefficients[2]``. En este caso particular el
portafolio es menos sesible a los cambios de mercado, es decir, por un
cambio de un 1% en el rendimiento del mercado, el rendimiento del
portafolio subirá un 0.73%.

Para visualizar el gráfico de dispersión, se hace uso de la función
``plot()``, contrastando el rendimiento del mercado ``Rdto_mdo`` contra
el rendimiento del portafolio ``rdto_port_tang``, ambos ingresados como
vestores numéricos ``as.numeric()``. Para la línea de la regresión se
utiliza la función ``abline()``

.. code:: r

    #Regresión para obtener el Beta del portafolio
    regresion=lm(Rdto_mdo~rdto_port_tang)
    summary(regresion)
    Beta=regresion$coefficients[2]
    
    #Gráfica Dispersión
    plot(as.numeric(Rdto_mdo),as.numeric(rdto_port_tang), xlab='Rendimiento Mercado', ylab='Rendimiento Cartera', main="Rdto Mercado vs Rdto Cartera")
    abline(regresion)
    
    



.. parsed-literal::

    
    Call:
    lm(formula = Rdto_mdo ~ rdto_port_tang)
    
    Residuals:
          Min        1Q    Median        3Q       Max 
    -0.028985 -0.004045 -0.000233  0.004186  0.035841 
    
    Coefficients:
                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    (Intercept)    -0.0012409  0.0004893  -2.536   0.0118 *  
    rdto_port_tang  0.7330308  0.0222104  33.004   <2e-16 ***
    ---
    Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    
    Residual standard error: 0.008244 on 283 degrees of freedom
    Multiple R-squared:  0.7938,	Adjusted R-squared:  0.793 
    F-statistic:  1089 on 1 and 283 DF,  p-value: < 2.2e-16
    



.. image:: output_17_1.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Ratio de Treynor
                

Similar al ratio Sharpe, el ratio de Treynor, permite evaluar el premio
que se le otorga al inversionista por asumir una porción del riesgo
sistemático. De nuevo, entre mayor sea el Ratio de Treynor, mejor será
el premio. El ratio de Treynor está determinado por la fórmula:

.. math:: Treynor= \frac{(R_p)- R_f}{\beta}

.. code:: r

    ## Ratio de Treynor
    Treynor_tang=(Rport_tang[2]-rf)/Beta


**Práctica 6:**

Con las acciones tomadas para la práctica # 5, identifique cuáles son los ratios de desempeño y selección para el portafolio tangente y 
eficiente, es decir, calcule para ambos portafolios:

**a.** Los pesos exactos de los portafolios

**b** El ratio de Sharpe

**c.** El Betha del portafolio

**d** El ratio de Treynor.